图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：「广度优先遍历」和「深度优先遍历」。

广度优先遍历

广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。如下图所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

图的广度优先遍历

算法实现

BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。

将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完毕后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些节点已被访问。

"Python"

def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
  """广度优先遍历"""
 // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
 // 顶点遍历序列
  res = []
 // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  visited = set[Vertex]([start_vet])
 // 队列用于实现 BFS
  que = deque[Vertex]([start_vet])
 // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
  while len(que) > 0:
      vet = que.popleft() // 队首顶点出队
      res.append(vet) // 记录访问顶点
     // 遍历该顶点的所有邻接顶点
      for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
          if adj_vet in visited:
              continue // 跳过已被访问的顶点
          que.append(adj_vet) // 只入队未访问的顶点
          visited.add(adj_vet) // 标记该顶点已被访问
 // 返回顶点遍历序列
  return res

"C++"

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
  // 顶点遍历序列
  vector<Vertex *> res;
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
  // 队列用于实现 BFS
  queue<Vertex *> que;
  que.push(startVet);
  // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
  while (!que.empty()) {
      Vertex *vet = que.front();
      que.pop();          // 队首顶点出队
      res.push_back(vet); // 记录访问顶点
      // 遍历该顶点的所有邻接顶点
      for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
          if (visited.count(adjVet))
              continue;            // 跳过已被访问的顶点
          que.push(adjVet);        // 只入队未访问的顶点
          visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
      }
  }
  // 返回顶点遍历序列
  return res;
}

"Java"

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 顶点遍历序列
  List<Vertex> res = new ArrayList<>();
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
  visited.add(startVet);
  // 队列用于实现 BFS
  Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
  que.offer(startVet);
  // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
  while (!que.isEmpty()) {
      Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
      res.add(vet);            // 记录访问顶点
      // 遍历该顶点的所有邻接顶点
      for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
          if (visited.contains(adjVet))
              continue;        // 跳过已被访问的顶点
          que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
          visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
      }
  }
  // 返回顶点遍历序列
  return res;
}

代码相对抽象，建议对照下图来加深理解。

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!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"

不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以上图为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换，顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。

复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。

深度优先遍历

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。如下图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

图的深度优先遍历

算法实现

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

"Python" ```python def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex): """深度优先遍历辅助函数""" res.append(vet) // 记录访问顶点 visited.add(vet) // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for adjVet in graph.adj_list[vet]:
```
  if adjVet in visited:
      continue // 跳过已被访问的顶点
 // 递归访问邻接顶点
  dfs(graph, visited, res, adjVet)
```

def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]: """深度优先遍历""" // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 // 顶点遍历序列 res = [] // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 visited = setVertex dfs(graph, visited, res, start_vet) return res


- "C++"
```cpp
/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
    res.push_back(vet);   // 记录访问顶点
    visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
        if (visited.count(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex *> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex *> visited;
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

"Java" ```java / 深度优先遍历辅助函数 / void dfs(GraphAdjList graph, Set
visited, List
res, Vertex vet) { res.add(vet); // 记录访问顶点 visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
```
  if (visited.contains(adjVet))
      continue; // 跳过已被访问的顶点
  // 递归访问邻接顶点
  dfs(graph, visited, res, adjVet);
```
} }

/ 深度优先遍历 / // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 List graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { // 顶点遍历序列 List res = new ArrayList<>(); // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 Set visited = new HashSet<>(); dfs(graph, visited, res, startVet); return res; } ```

深度优先遍历的算法流程如下图所示。

直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。

为了加深理解，建议将下图与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

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!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"

与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。

以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。