二叉树

「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构,代表“祖先”与“后代”之间的派生关系,体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似,二叉树的基本单元是节点,每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。

  • "Python"

    ```python title="" class TreeNode:

      """二叉树节点类"""
      def __init__(self, val: int):
          self.val: int = val               // 节点值
          self.left: TreeNode | None = None // 左子节点引用
          self.right: TreeNode | None = None// 右子节点引用
    

    ```

  • "C++"

    ```cpp title="" / 二叉树节点结构体 / struct TreeNode {

      int val;          // 节点值
      TreeNode *left;   // 左子节点指针
      TreeNode *right;  // 右子节点指针
      TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    

    }; ```

  • "Java"

    ```java title="" / 二叉树节点类 / class TreeNode {

      int val;         // 节点值
      TreeNode left;   // 左子节点引用
      TreeNode right;  // 右子节点引用
      TreeNode(int x) { val = x; }
    

    } ```

  • "C#"

    ```csharp title="" / 二叉树节点类 / class TreeNode(int? x) {

      public int? val = x;    // 节点值
      public TreeNode? left;  // 左子节点引用
      public TreeNode? right; // 右子节点引用
    

    } ```

  • "Go"

    ```go title="" / 二叉树节点结构体 / type TreeNode struct {

      Val   int
      Left  *TreeNode
      Right *TreeNode
    

    } / 构造方法 / func NewTreeNode(v int) *TreeNode {

      return &TreeNode{
          Left:  nil, // 左子节点指针
          Right: nil, // 右子节点指针
          Val:   v,   // 节点值
      }
    

    } ```

  • "Swift"

    ```swift title="" / 二叉树节点类 / class TreeNode {

      var val: Int // 节点值
      var left: TreeNode? // 左子节点引用
      var right: TreeNode? // 右子节点引用
    
      init(x: Int) {
          val = x
      }
    

    } ```

  • "JS"

    ```javascript title="" / 二叉树节点类 / class TreeNode {

      val; // 节点值
      left; // 左子节点指针
      right; // 右子节点指针
      constructor(val, left, right) {
          this.val = val - undefined ? 0 : val;
          this.left = left - undefined ? null : left;
          this.right = right - undefined ? null : right;
      }
    

    } ```

  • "TS"

    ```typescript title="" / 二叉树节点类 / class TreeNode {

      val: number;
      left: TreeNode | null;
      right: TreeNode | null;
    
      constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
          this.val = val - undefined ? 0 : val; // 节点值
          this.left = left - undefined ? null : left; // 左子节点引用
          this.right = right - undefined ? null : right; // 右子节点引用
      }
    

    } ```

  • "Dart"

    ```dart title="" / 二叉树节点类 / class TreeNode {

    int val;         // 节点值
    TreeNode? left;  // 左子节点引用
    TreeNode? right; // 右子节点引用
    TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
    

    } ```

  • "Rust"

    ```rust title="" use std::rc::Rc; use std::cell::RefCell;

    / 二叉树节点结构体 / struct TreeNode {

      val: i32,                               // 节点值
      left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,    // 左子节点引用
      right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,   // 右子节点引用
    

    }

    impl TreeNode {

      /* 构造方法 */
      fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
          Rc::new(RefCell::new(Self {
              val,
              left: None,
              right: None
          }))
      }
    

    } ```

  • "C"

    ```c title="" / 二叉树节点结构体 / typedef struct TreeNode {

      int val;                // 节点值
      int height;             // 节点高度
      struct TreeNode *left;  // 左子节点指针
      struct TreeNode *right; // 右子节点指针
    

    } TreeNode;

    / 构造函数 / TreeNode *newTreeNode(int val) {

      TreeNode *node;
    
      node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
      node->val = val;
      node->height = 0;
      node->left = NULL;
      node->right = NULL;
      return node;
    

    } ```

  • "Zig"

    ```zig title=""

    ```

每个节点都有两个引用(指针),分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」,该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时,我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」,同理可得「右子树 right subtree」。

在二叉树中,除叶节点外,其他所有节点都包含子节点和非空子树。如下图所示,如果将“节点 2”视为父节点,则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”,左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”,右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。

父节点、子节点、子树

二叉树常见术语

二叉树的常用术语如下图所示。

  • 「根节点 root node」:位于二叉树顶层的节点,没有父节点。
  • 「叶节点 leaf node」:没有子节点的节点,其两个指针均指向 None
  • 「边 edge」:连接两个节点的线段,即节点引用(指针)。
  • 节点所在的「层 level」:从顶至底递增,根节点所在层为 1 。
  • 节点的「度 degree」:节点的子节点的数量。在二叉树中,度的取值范围是 0、1、2 。
  • 二叉树的「高度 height」:从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
  • 节点的「深度 depth」:从根节点到该节点所经过的边的数量。
  • 节点的「高度 height」:从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

二叉树的常用术语

!!! tip

请注意,我们通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”,但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下,高度和深度都需要加 1 。

二叉树基本操作

初始化二叉树

与链表类似,首先初始化节点,然后构建引用(指针)。

  • "Python"

    python title="binary_tree.py" // 初始化二叉树 // 初始化节点 n1 = TreeNode(val=1) n2 = TreeNode(val=2) n3 = TreeNode(val=3) n4 = TreeNode(val=4) n5 = TreeNode(val=5) // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5

  • "C++"

    cpp title="binary_tree.cpp" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode* n1 = new TreeNode(1); TreeNode* n2 = new TreeNode(2); TreeNode* n3 = new TreeNode(3); TreeNode* n4 = new TreeNode(4); TreeNode* n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5;

  • "Java"

    java title="binary_tree.java" // 初始化节点 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5;

  • "C#"

    csharp title="binary_tree.cs" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode n1 = new(1); TreeNode n2 = new(2); TreeNode n3 = new(3); TreeNode n4 = new(4); TreeNode n5 = new(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5;

  • "Go"

    go title="binary_tree.go" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 n1 := NewTreeNode(1) n2 := NewTreeNode(2) n3 := NewTreeNode(3) n4 := NewTreeNode(4) n5 := NewTreeNode(5) // 构建节点之间的引用(指针) n1.Left = n2 n1.Right = n3 n2.Left = n4 n2.Right = n5

  • "Swift"

    swift title="binary_tree.swift" // 初始化节点 let n1 = TreeNode(x: 1) let n2 = TreeNode(x: 2) let n3 = TreeNode(x: 3) let n4 = TreeNode(x: 4) let n5 = TreeNode(x: 5) // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5

  • "JS"

    ```javascript title="binary_tree.js" / 初始化二叉树 / // 初始化节点 let n1 = new TreeNode(1),

      n2 = new TreeNode(2),
      n3 = new TreeNode(3),
      n4 = new TreeNode(4),
      n5 = new TreeNode(5);
    

    // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ```

  • "TS"

    ```typescript title="binary_tree.ts" / 初始化二叉树 / // 初始化节点 let n1 = new TreeNode(1),

      n2 = new TreeNode(2),
      n3 = new TreeNode(3),
      n4 = new TreeNode(4),
      n5 = new TreeNode(5);
    

    // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ```

  • "Dart"

    dart title="binary_tree.dart" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5;

  • "Rust"

    rust title="binary_tree.rs" // 初始化节点 let n1 = TreeNode::new(1); let n2 = TreeNode::new(2); let n3 = TreeNode::new(3); let n4 = TreeNode::new(4); let n5 = TreeNode::new(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); n1.borrow_mut().right = Some(n3); n2.borrow_mut().left = Some(n4); n2.borrow_mut().right = Some(n5);

  • "C"

    c title="binary_tree.c" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode *n1 = newTreeNode(1); TreeNode *n2 = newTreeNode(2); TreeNode *n3 = newTreeNode(3); TreeNode *n4 = newTreeNode(4); TreeNode *n5 = newTreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5;

  • "Zig"

    ```zig title="binary_tree.zig"

    ```

插入与删除节点

与链表类似,在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。下图给出了一个示例。

在二叉树中插入与删除节点

  • "Python"

    python title="binary_tree.py" // 插入与删除节点 p = TreeNode(0) // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = p p.left = n2 // 删除节点 P n1.left = n2

  • "C++"

    cpp title="binary_tree.cpp" /* 插入与删除节点 */ TreeNode* P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1->left = P; P->left = n2; // 删除节点 P n1->left = n2;

  • "Java"

    java title="binary_tree.java" TreeNode P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2;

  • "C#"

    csharp title="binary_tree.cs" /* 插入与删除节点 */ TreeNode P = new(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2;

  • "Go"

    go title="binary_tree.go" /* 插入与删除节点 */ // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P p := NewTreeNode(0) n1.Left = p p.Left = n2 // 删除节点 P n1.Left = n2

  • "Swift"

    swift title="binary_tree.swift" let P = TreeNode(x: 0) // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P P.left = n2 // 删除节点 P n1.left = n2

  • "JS"

    javascript title="binary_tree.js" /* 插入与删除节点 */ let P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2;

  • "TS"

    typescript title="binary_tree.ts" /* 插入与删除节点 */ const P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2;

  • "Dart"

    dart title="binary_tree.dart" /* 插入与删除节点 */ TreeNode P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2;

  • "Rust"

    rust title="binary_tree.rs" let p = TreeNode::new(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.borrow_mut().left = Some(p.clone()); p.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); // 删除节点 p n1.borrow_mut().left = Some(n2);

  • "C"

    c title="binary_tree.c" /* 插入与删除节点 */ TreeNode *P = newTreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1->left = P; P->left = n2; // 删除节点 P n1->left = n2;

  • "Zig"

    ```zig title="binary_tree.zig"

    ```

!!! note

需要注意的是,插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构,而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此,在二叉树中,插入与删除通常是由一套操作配合完成的,以实现有实际意义的操作。

常见二叉树类型

完美二叉树

如下图所示,「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中,叶节点的度为 $0$ ,其余所有节点的度都为 $2$ ;若树的高度为 $h$ ,则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ,呈现标准的指数级关系,反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

!!! tip

请注意,在中文社区中,完美二叉树常被称为「满二叉树」。

完美二叉树

完全二叉树

如下图所示,「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满,且最底层节点尽量靠左填充。

完全二叉树

完满二叉树

如下图所示,「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外,其余所有节点都有两个子节点。

完满二叉树

平衡二叉树

如下图所示,「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

平衡二叉树

二叉树的退化

下图展示了二叉树的理想结构与退化结构。当二叉树的每层节点都被填满时,达到“完美二叉树”;而当所有节点都偏向一侧时,二叉树退化为“链表”。

  • 完美二叉树是理想情况,可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
  • 链表则是另一个极端,各项操作都变为线性操作,时间复杂度退化至 $O(n)$ 。

二叉树的最佳结构与最差结构

如下表所示,在最佳结构和最差结构下,二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大值或极小值。

  二叉树的最佳结构与最差结构

完美二叉树 链表
第 $i$ 层的节点数量 $2^{i-1}$ $1$
高度为 $h$ 的树的叶节点数量 $2^h$ $1$
高度为 $h$ 的树的节点总数 $2^{h+1} - 1$ $h + 1$
节点总数为 $n$ 的树的高度 $\log_2 (n+1) - 1$ $n - 1$