哈希冲突

上一节提到，通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一桶索引。

哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为了解决该问题，每当遇到哈希冲突时，我们就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下策略。

  1. 改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在出现哈希冲突时正常工作。
  2. 仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。

链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子。

链式地址哈希表

基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化。

  • 查询元素：输入 key ，经过哈希函数得到桶索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
  • 添加元素：首先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（键值对）添加到链表中。
  • 删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点并将其删除。

链式地址存在以下局限性。

  • 占用空间增大：链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间。
  • 查询效率降低：因为需要线性遍历链表来查找对应元素。

以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意两点。

  • 使用列表（动态数组）代替链表，从而简化代码。在这种设定下，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。

  • 以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过 $\frac{2}{3}$ 时，我们将哈希表扩容至原先的 $2$ 倍。

  • "Python"

    class HashMapChaining:
  """链式地址哈希表"""

  def __init__(self):
      """构造方法"""
      self.size = 0 // 键值对数量
      self.capacity = 4 // 哈希表容量
      self.load_thres = 2.0 / 3.0 // 触发扩容的负载因子阈值
      self.extend_ratio = 2 // 扩容倍数
      self.buckets = [[] for _ in range(self.capacity)] // 桶数组

  def hash_func(self, key: int) -> int:
      """哈希函数"""
      return key % self.capacity

  def load_factor(self) -> float:
      """负载因子"""
      return self.size / self.capacity

  def get(self, key: int) -> str | None:
      """查询操作"""
      index = self.hash_func(key)
      bucket = self.buckets[index]
     // 遍历桶，若找到 key ，则返回对应 val
      for pair in bucket:
          if pair.key == key:
              return pair.val
     // 若未找到 key ，则返回 None
      return None

  def put(self, key: int, val: str):
      """添加操作"""
     // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
      if self.load_factor() > self.load_thres:
          self.extend()
      index = self.hash_func(key)
      bucket = self.buckets[index]
     // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
      for pair in bucket:
          if pair.key == key:
              pair.val = val
              return
     // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
      pair = Pair(key, val)
      bucket.append(pair)
      self.size += 1

  def remove(self, key: int):
      """删除操作"""
      index = self.hash_func(key)
      bucket = self.buckets[index]
     // 遍历桶，从中删除键值对
      for pair in bucket:
          if pair.key == key:
              bucket.remove(pair)
              self.size -= 1
              break

  def extend(self):
      """扩容哈希表"""
     // 暂存原哈希表
      buckets = self.buckets
     // 初始化扩容后的新哈希表
      self.capacity *= self.extend_ratio
      self.buckets = [[] for _ in range(self.capacity)]
      self.size = 0
     // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
      for bucket in buckets:
          for pair in bucket:
              self.put(pair.key, pair.val)

  def print(self):
      """打印哈希表"""
      for bucket in self.buckets:
          res = []
          for pair in bucket:
              res.append(str(pair.key) + " -> " + pair.val)
          print(res)

  • "C++"

    /* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
private:
  int size;                       // 键值对数量
  int capacity;                   // 哈希表容量
  double loadThres;               // 触发扩容的负载因子阈值
  int extendRatio;                // 扩容倍数
  vector<vector<Pair *>> buckets; // 桶数组

public:
  /* 构造方法 */
  HashMapChaining() : size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3.0), extendRatio(2) {
      buckets.resize(capacity);
  }

  /* 析构方法 */
  ~HashMapChaining() {
      for (auto &bucket : buckets) {
          for (Pair *pair : bucket) {
              // 释放内存
              delete pair;
          }
      }
  }

  /* 哈希函数 */
  int hashFunc(int key) {
      return key % capacity;
  }

  /* 负载因子 */
  double loadFactor() {
      return (double)size / (double)capacity;
  }

  /* 查询操作 */
  string get(int key) {
      int index = hashFunc(key);
      // 遍历桶，若找到 key ，则返回对应 val
      for (Pair *pair : buckets[index]) {
          if (pair->key == key) {
              return pair->val;
          }
      }
      // 若未找到 key ，则返回空字符串
      return "";
  }

  /* 添加操作 */
  void put(int key, string val) {
      // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
      if (loadFactor() > loadThres) {
          extend();
      }
      int index = hashFunc(key);
      // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
      for (Pair *pair : buckets[index]) {
          if (pair->key == key) {
              pair->val = val;
              return;
          }
      }
      // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
      buckets[index].push_back(new Pair(key, val));
      size++;
  }

  /* 删除操作 */
  void remove(int key) {
      int index = hashFunc(key);
      auto &bucket = buckets[index];
      // 遍历桶，从中删除键值对
      for (int i = 0; i < bucket.size(); i++) {
          if (bucket[i]->key == key) {
              Pair *tmp = bucket[i];
              bucket.erase(bucket.begin() + i); // 从中删除键值对
              delete tmp;                       // 释放内存
              size--;
              return;
          }
      }
  }

  /* 扩容哈希表 */
  void extend() {
      // 暂存原哈希表
      vector<vector<Pair *>> bucketsTmp = buckets;
      // 初始化扩容后的新哈希表
      capacity *= extendRatio;
      buckets.clear();
      buckets.resize(capacity);
      size = 0;
      // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
      for (auto &bucket : bucketsTmp) {
          for (Pair *pair : bucket) {
              put(pair->key, pair->val);
              // 释放内存
              delete pair;
          }
      }
  }

  /* 打印哈希表 */
  void print() {
      for (auto &bucket : buckets) {
          cout << "[";
          for (Pair *pair : bucket) {
              cout << pair->key << " -> " << pair->val << ", ";
          }
          cout << "]\n";
      }
  }
};

  • "Java"

    /* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
  int size; // 键值对数量
  int capacity; // 哈希表容量
  double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
  int extendRatio; // 扩容倍数
  List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

  /* 构造方法 */
  public HashMapChaining() {
      size = 0;
      capacity = 4;
      loadThres = 2.0 / 3.0;
      extendRatio = 2;
      buckets = new ArrayList<>(capacity);
      for (int i = 0; i < capacity; i++) {
          buckets.add(new ArrayList<>());
      }
  }

  /* 哈希函数 */
  int hashFunc(int key) {
      return key % capacity;
  }

  /* 负载因子 */
  double loadFactor() {
      return (double) size / capacity;
  }

  /* 查询操作 */
  String get(int key) {
      int index = hashFunc(key);
      List<Pair> bucket = buckets.get(index);
      // 遍历桶，若找到 key ，则返回对应 val
      for (Pair pair : bucket) {
          if (pair.key == key) {
              return pair.val;
          }
      }
      // 若未找到 key ，则返回 null
      return null;
  }

  /* 添加操作 */
  void put(int key, String val) {
      // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
      if (loadFactor() > loadThres) {
          extend();
      }
      int index = hashFunc(key);
      List<Pair> bucket = buckets.get(index);
      // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
      for (Pair pair : bucket) {
          if (pair.key == key) {
              pair.val = val;
              return;
          }
      }
      // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
      Pair pair = new Pair(key, val);
      bucket.add(pair);
      size++;
  }

  /* 删除操作 */
  void remove(int key) {
      int index = hashFunc(key);
      List<Pair> bucket = buckets.get(index);
      // 遍历桶，从中删除键值对
      for (Pair pair : bucket) {
          if (pair.key == key) {
              bucket.remove(pair);
              size--;
              break;
          }
      }
  }

  /* 扩容哈希表 */
  void extend() {
      // 暂存原哈希表
      List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
      // 初始化扩容后的新哈希表
      capacity *= extendRatio;
      buckets = new ArrayList<>(capacity);
      for (int i = 0; i < capacity; i++) {
          buckets.add(new ArrayList<>());
      }
      size = 0;
      // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
      for (List<Pair> bucket : bucketsTmp) {
          for (Pair pair : bucket) {
              put(pair.key, pair.val);
          }
      }
  }

  /* 打印哈希表 */
  void print() {
      for (List<Pair> bucket : buckets) {
          List<String> res = new ArrayList<>();
          for (Pair pair : bucket) {
              res.add(pair.key + " -> " + pair.val);
          }
          System.out.println(res);
      }
  }
}

值得注意的是，当链表很长时，查询效率 $O(n)$ 很差。此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

开放寻址

「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测和多次哈希等。

下面以线性探测为例，介绍开放寻址哈希表的工作机制。

线性探测

线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同。

  • 插入元素：通过哈希函数计算桶索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 $1$ ），直至找到空桶，将元素插入其中。
  • 查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后进行线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可；如果遇到空桶，说明目标元素不在哈希表中，返回 None 。

下图展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的 key 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。

开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布

然而，线性探测容易产生“聚集现象”。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。

值得注意的是，我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None ，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在。

在开放寻址中删除元素导致的查询问题

为了解决该问题，我们可以采用「懒删除 lazy deletion」机制：它不直接从哈希表中移除元素，而是利用一个常量 TOMBSTONE 来标记这个桶。在该机制下，None 和 TOMBSTONE 都代表空桶，都可以放置键值对。但不同的是，线性探测到 TOMBSTONE 时应该继续遍历，因为其之下可能还存在键值对。

然而，懒删除可能会加速哈希表的性能退化。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记，随着 TOMBSTONE 的增加，搜索时间也会增加，因为线性探测可能需要跳过多个 TOMBSTONE 才能找到目标元素。

为此，考虑在线性探测中记录遇到的首个 TOMBSTONE 的索引，并将搜索到的目标元素与该 TOMBSTONE 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时，元素会被移动至距离理想位置（探测起始点）更近的桶，从而优化查询效率。

以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址（线性探测）哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间，我们将哈希表看作一个“环形数组”，当越过数组尾部时，回到头部继续遍历。

  • "Python"

    class HashMapOpenAddressing:
  """开放寻址哈希表"""

  def __init__(self):
      """构造方法"""
      self.size = 0 // 键值对数量
      self.capacity = 4 // 哈希表容量
      self.load_thres = 2.0 / 3.0 // 触发扩容的负载因子阈值
      self.extend_ratio = 2 // 扩容倍数
      self.buckets: list[Pair | None] = [None] * self.capacity // 桶数组
      self.TOMBSTONE = Pair(-1, "-1") // 删除标记

  def hash_func(self, key: int) -> int:
      """哈希函数"""
      return key % self.capacity

  def load_factor(self) -> float:
      """负载因子"""
      return self.size / self.capacity

  def find_bucket(self, key: int) -> int:
      """搜索 key 对应的桶索引"""
      index = self.hash_func(key)
      first_tombstone = -1
     // 线性探测，当遇到空桶时跳出
      while self.buckets[index] is not None:
         // 若遇到 key ，返回对应的桶索引
          if self.buckets[index].key == key:
             // 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引处
              if first_tombstone != -1:
                  self.buckets[first_tombstone] = self.buckets[index]
                  self.buckets[index] = self.TOMBSTONE
                  return first_tombstone // 返回移动后的桶索引
              return index // 返回桶索引
         // 记录遇到的首个删除标记
          if first_tombstone == -1 and self.buckets[index] is self.TOMBSTONE:
              first_tombstone = index
         // 计算桶索引，越过尾部则返回头部
          index = (index + 1) % self.capacity
     // 若 key 不存在，则返回添加点的索引
      return index if first_tombstone == -1 else first_tombstone

  def get(self, key: int) -> str:
      """查询操作"""
     // 搜索 key 对应的桶索引
      index = self.find_bucket(key)
     // 若找到键值对，则返回对应 val
      if self.buckets[index] not in [None, self.TOMBSTONE]:
          return self.buckets[index].val
     // 若键值对不存在，则返回 None
      return None

  def put(self, key: int, val: str):
      """添加操作"""
     // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
      if self.load_factor() > self.load_thres:
          self.extend()
     // 搜索 key 对应的桶索引
      index = self.find_bucket(key)
     // 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
      if self.buckets[index] not in [None, self.TOMBSTONE]:
          self.buckets[index].val = val
          return
     // 若键值对不存在，则添加该键值对
      self.buckets[index] = Pair(key, val)
      self.size += 1

  def remove(self, key: int):
      """删除操作"""
     // 搜索 key 对应的桶索引
      index = self.find_bucket(key)
     // 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
      if self.buckets[index] not in [None, self.TOMBSTONE]:
          self.buckets[index] = self.TOMBSTONE
          self.size -= 1

  def extend(self):
      """扩容哈希表"""
     // 暂存原哈希表
      buckets_tmp = self.buckets
     // 初始化扩容后的新哈希表
      self.capacity *= self.extend_ratio
      self.buckets = [None] * self.capacity
      self.size = 0
     // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
      for pair in buckets_tmp:
          if pair not in [None, self.TOMBSTONE]:
              self.put(pair.key, pair.val)

  def print(self):
      """打印哈希表"""
      for pair in self.buckets:
          if pair is None:
              print("None")
          elif pair is self.TOMBSTONE:
              print("TOMBSTONE")
          else:
              print(pair.key, "->", pair.val)

  • "C++"

    /* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {
private:
  int size;                             // 键值对数量
  int capacity = 4;                     // 哈希表容量
  const double loadThres = 2.0 / 3.0;     // 触发扩容的负载因子阈值
  const int extendRatio = 2;            // 扩容倍数
  vector<Pair *> buckets;               // 桶数组
  Pair *TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1"); // 删除标记

public:
  /* 构造方法 */
  HashMapOpenAddressing() : size(0), buckets(capacity, nullptr) {
  }

  /* 析构方法 */
  ~HashMapOpenAddressing() {
      for (Pair *pair : buckets) {
          if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {
              delete pair;
          }
      }
      delete TOMBSTONE;
  }

  /* 哈希函数 */
  int hashFunc(int key) {
      return key % capacity;
  }

  /* 负载因子 */
  double loadFactor() {
      return (double)size / capacity;
  }

  /* 搜索 key 对应的桶索引 */
  int findBucket(int key) {
      int index = hashFunc(key);
      int firstTombstone = -1;
      // 线性探测，当遇到空桶时跳出
      while (buckets[index] != nullptr) {
          // 若遇到 key ，返回对应的桶索引
          if (buckets[index]->key == key) {
              // 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引处
              if (firstTombstone != -1) {
                  buckets[firstTombstone] = buckets[index];
                  buckets[index] = TOMBSTONE;
                  return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
              }
              return index; // 返回桶索引
          }
          // 记录遇到的首个删除标记
          if (firstTombstone == -1 && buckets[index] == TOMBSTONE) {
              firstTombstone = index;
          }
          // 计算桶索引，越过尾部则返回头部
          index = (index + 1) % capacity;
      }
      // 若 key 不存在，则返回添加点的索引
      return firstTombstone == -1 ? index : firstTombstone;
  }

  /* 查询操作 */
  string get(int key) {
      // 搜索 key 对应的桶索引
      int index = findBucket(key);
      // 若找到键值对，则返回对应 val
      if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
          return buckets[index]->val;
      }
      // 若键值对不存在，则返回空字符串
      return "";
  }

  /* 添加操作 */
  void put(int key, string val) {
      // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
      if (loadFactor() > loadThres) {
          extend();
      }
      // 搜索 key 对应的桶索引
      int index = findBucket(key);
      // 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
      if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
          buckets[index]->val = val;
          return;
      }
      // 若键值对不存在，则添加该键值对
      buckets[index] = new Pair(key, val);
      size++;
  }

  /* 删除操作 */
  void remove(int key) {
      // 搜索 key 对应的桶索引
      int index = findBucket(key);
      // 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
      if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
          delete buckets[index];
          buckets[index] = TOMBSTONE;
          size--;
      }
  }

  /* 扩容哈希表 */
  void extend() {
      // 暂存原哈希表
      vector<Pair *> bucketsTmp = buckets;
      // 初始化扩容后的新哈希表
      capacity *= extendRatio;
      buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);
      size = 0;
      // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
      for (Pair *pair : bucketsTmp) {
          if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {
              put(pair->key, pair->val);
              delete pair;
          }
      }
  }

  /* 打印哈希表 */
  void print() {
      for (Pair *pair : buckets) {
          if (pair == nullptr) {
              cout << "nullptr" << endl;
          } else if (pair == TOMBSTONE) {
              cout << "TOMBSTONE" << endl;
          } else {
              cout << pair->key << " -> " << pair->val << endl;
          }
      }
  }
};

  • "Java"

    /* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {
  private int size; // 键值对数量
  private int capacity = 4; // 哈希表容量
  private final double loadThres = 2.0 / 3.0; // 触发扩容的负载因子阈值
  private final int extendRatio = 2; // 扩容倍数
  private Pair[] buckets; // 桶数组
  private final Pair TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1"); // 删除标记

  /* 构造方法 */
  public HashMapOpenAddressing() {
      size = 0;
      buckets = new Pair[capacity];
  }

  /* 哈希函数 */
  private int hashFunc(int key) {
      return key % capacity;
  }

  /* 负载因子 */
  private double loadFactor() {
      return (double) size / capacity;
  }

  /* 搜索 key 对应的桶索引 */
  private int findBucket(int key) {
      int index = hashFunc(key);
      int firstTombstone = -1;
      // 线性探测，当遇到空桶时跳出
      while (buckets[index] != null) {
          // 若遇到 key ，返回对应的桶索引
          if (buckets[index].key == key) {
              // 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引处
              if (firstTombstone != -1) {
                  buckets[firstTombstone] = buckets[index];
                  buckets[index] = TOMBSTONE;
                  return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
              }
              return index; // 返回桶索引
          }
          // 记录遇到的首个删除标记
          if (firstTombstone == -1 && buckets[index] == TOMBSTONE) {
              firstTombstone = index;
          }
          // 计算桶索引，越过尾部则返回头部
          index = (index + 1) % capacity;
      }
      // 若 key 不存在，则返回添加点的索引
      return firstTombstone == -1 ? index : firstTombstone;
  }

  /* 查询操作 */
  public String get(int key) {
      // 搜索 key 对应的桶索引
      int index = findBucket(key);
      // 若找到键值对，则返回对应 val
      if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
          return buckets[index].val;
      }
      // 若键值对不存在，则返回 null
      return null;
  }

  /* 添加操作 */
  public void put(int key, String val) {
      // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
      if (loadFactor() > loadThres) {
          extend();
      }
      // 搜索 key 对应的桶索引
      int index = findBucket(key);
      // 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
      if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
          buckets[index].val = val;
          return;
      }
      // 若键值对不存在，则添加该键值对
      buckets[index] = new Pair(key, val);
      size++;
  }

  /* 删除操作 */
  public void remove(int key) {
      // 搜索 key 对应的桶索引
      int index = findBucket(key);
      // 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
      if (buckets[index] != null && buckets[index] != TOMBSTONE) {
          buckets[index] = TOMBSTONE;
          size--;
      }
  }

  /* 扩容哈希表 */
  private void extend() {
      // 暂存原哈希表
      Pair[] bucketsTmp = buckets;
      // 初始化扩容后的新哈希表
      capacity *= extendRatio;
      buckets = new Pair[capacity];
      size = 0;
      // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
      for (Pair pair : bucketsTmp) {
          if (pair != null && pair != TOMBSTONE) {
              put(pair.key, pair.val);
          }
      }
  }

  /* 打印哈希表 */
  public void print() {
      for (Pair pair : buckets) {
          if (pair == null) {
              System.out.println("null");
          } else if (pair == TOMBSTONE) {
              System.out.println("TOMBSTONE");
          } else {
              System.out.println(pair.key + " -> " + pair.val);
          }
      }
  }
}

平方探测

平方探测与线性探测类似，都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时，平方探测不是简单地跳过一个固定的步数，而是跳过“探测次数的平方”的步数，即 $1, 4, 9, \dots$ 步。

平方探测主要具有以下优势。

  • 平方探测通过跳过探测次数平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应。
  • 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置，有助于数据分布得更加均匀。

然而，平方探测并不是完美的。

  • 仍然存在聚集现象，即某些位置比其他位置更容易被占用。
  • 由于平方的增长，平方探测可能不会探测整个哈希表，这意味着即使哈希表中有空桶，平方探测也可能无法访问到它。

多次哈希

顾名思义，多次哈希方法使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。

  • 插入元素：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推，直到找到空位后插入元素。
  • 查找元素：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；若遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 None 。

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会带来额外的计算量。

!!! tip

请注意，开放寻址（线性探测、平方探测和多次哈希）哈希表都存在“不能直接删除元素”的问题。

编程语言的选择

各种编程语言采取了不同的哈希表实现策略，下面举几个例子。

  • Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
  • Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会转换为红黑树以提升查找性能。
  • Go 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。